折りたたみを展開する

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if and only if から感じる違和感

丸暗記しちゃだめ?

if and only if というセリフがある。日本語でいうところの必要十分条件を意味する。例えば、 f(x) >0 if and only if  x とかそんな感じ。なにも考えずに、使っているがいったいどういう流れでこれが必要十分条件という意味になるのだろうか。

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素直なif、妖艶なonly if

まず、if はわかりやすい。 if X, then Y. なら、もし、XだったらYという意味。 XならばYという意味。つまり、 \Rightarrowを意味している。問題は only if である。only if X, then Y. というのはいったいどういう意味なのだろうか。 Xのときだけ、Y。見かけでは、ifのときと同じ方向論理関係をを意味しているように思える。つまり、X → Yという方向の論理関係である。

例を使って考えてみる

あまりわかっていないのだが、一般の例を使って考えてみた。いま

  • A: 東京にいる

  • B: 日本にいる

とする。AならばBである。東京は日本にあるので、東京にいれば日本にいることになる。 if A, then B. である。だが、Aのときのみ、Bではない。つまり、「B: 本にいる」のは「A:東京にいる」ときのみではない。つまり、if only A, then B. ではない。

すこし、ややこしいが、記号を入れ替えてみよう。

  • A: 日本にいる

  • B: 東京にいる

このとき、if A, then B. は成立しない。しかし、if only A, then B. は成立している。つまり、 日本にいるときのみ、東京にいるという状況は発生している。

さて、

  • A: 日本の首都にいる

  • B: 東京にいる

とする。 この時、if and only if A, then B. が成立している。

このような例で考えてみるとわかりやすいかもしれない。only if A, then B. というのは、「Aのときのみ、Bであるか」を調べることで  B \Rightarrow A をチェックしているのである。

違和感の源泉

こうして調べてみて、if and only if の違和感の理由が分かったきがする。必要十分条件を示すとき、 A \Rightarrow B と  A \Leftarrow B を別々に示す。しかし、 if and only if は Aを起点として必要十分条件を表現しているので違和感を感じたのだ。