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Degrootで定理をみたらそこに倒置があった

 

Probability and Statistics, Degroot, 4th という教科書がある。大学学部用の教科書なのだが、内容が豊富でオススメということだそう。どうやら、統計検定の受験者に定評がある内容らしい。

 

 

Probability and Statistics: Pearson New International Edition

Probability and Statistics: Pearson New International Edition

 

 

 

どうも、確率という単元が中学のときから苦手で、現在も全くわからない。この本を読めば、少しはわかるようになるのかなと思ったが、甘かったようだ。とはいえ、定理の証明や練習問題をしながら読み進めている。ある定理のところで、少し気になる英文を見つけた。

 

3.2.1: Uniform Distribution p.d.f

If X has the uniform distribution on an interval \( \left[a,b\right] \),
then the p.d.f. of X is


\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{b-a} & \ \ if\ a\leq x\leq b,\\
0 & otherwise.
\end{cases}\ldots(3.2.6)
\]

Proof


X must take a value in the interval \( [a,b] \). Furthermore, since any particular subinterval of\( [a,b] \) having a given length is as likely to contain X as is any other subinterval having the same length, regardless of the location of the particular subinterval in\( [a,b] \), it follows that \( f (x) \) must be constant throughout\( [a,b] \), and that interval is then the support of the distribution.......

 

Proofの英文なのだが、 Furthermore以下の文がすんなり入ってこなかった、

 

  • ( ): 副詞 (句、節)
  •  [ ]: 名詞 (句、節)
  •  < >: 形容詞 (句、節)

 

として文法的に見ると、

 

(Furthermore), [since any particular subinterval of  \( [a, b] \) having a given length is as likely to contain X as is any other subinterval having the same length], (regardless of the location of the particular subinterval in \( [a, b] \) ), it follows that \( f (x) \) must be constant throughout \( [a, b] \), and that interval is then the support of the distribution.

 

となる。主節の it follows that SV. という文まで長い道のりである。一旦、主節は置いておいて、接続詞 since の内容を見てみる。

 

since

any particular subinterval of \(  [a, b] \)  <having a given length> 

is 

as likely to contain X

as is any other subinterval <having the same length >.

 

という文章である。取り敢えず、部分的に見たいこところを色分けした。色に意味はない。

 

まず、 倒置が出て来るがこれは、as〜asの用法で出てくる義務的な倒置だと思う。それより興味深いのが、同じ形の反復が出て来る所だ。つまり、

 

any particular subinterval 〜 <having a given length> 

any other subinterval <having the same length >.

 

の部分。ここでは、a given length  the same length  である。同じ長さという意味でイコール。

 

文の最初から読んでいって、any particular subinterval 〜 is as likely to contain X は「任意の部分区間同じくらいXを含んでいる」という意味。同じくらいとはどれと同じくらいかと思い、文を進めて見ると、

 

as is any other subinterval <having the same length >.

 

とくる。as のあとの倒置で、as V SでSを強調する倒置があるが。省略もある。修正してみると、

 

as any other subinterval <having the same length > is likely to contain.

 

となる。まとめると、任意の部分区間ほかの同じ長さを持つ部分区間同じくらいXを含んでいる」となる。ちなみに、この倒置は必ずしなくては行けないという倒置ではない。

 

文章の意味がわかりにくいのでまとめてもう一度訳しなおすと、

 

Furthermore, since any particular subinterval of\( [a,b] \) having a given length is as likely to contain X as is any other subinterval having the same length, regardless of the location of the particular subinterval in\( [a,b] \), it follows that \( f (x) \) must be constant throughout\( [a,b] \), and that interval is then the support of the distribution.

 

さらに、区間の取り方に関係無く、任意の部分区間がXを含む確率は、同じ長さを持つ他の部分区間と同じである。なので、区間 \( [a, b] \) で  \( f (x) \) は定数で無くてはならない。そして、この区間 \( [a, b] \)が一様分布のsupportである。

 

 ここまで来ておいてなんだが、この理解の仕方でいいのだろうか。コメント等で指摘して頂ければ幸い。